• Turunan Parsial

    turunan parsial adalah sebuah perubahan nilai dari suatu fungsi yang mempunyai 2 variabel atau lebih secara sebagian atau tidak seluruhnya dan diturunkan satu-satu. Jika pada fungsi z = f(x,y) kita turunkan terhadap variabel x maka y akan dianggap sebagai konstanta dan bisa disebut kita mencari turunan parsial z terhadap x,turunan parsial sebuah fungsi f terhadap variabel x dituliskan oleh berbagai sumber rujukan sebagai:


Lambang turunan parsial ∂ adalah huruf bundar, diturunkan namun berbeda dengan huruf Yunani delta, dan dibedakan dengan notasi turunan total d (dan dari huruf ð).

    contoh soal :
     1. Untuk fungsi y = 3x² – 5z² + 2x²z – 4xz² – 9 tentukanlah derivatif parsialnya !

           Jawab :

           ∂ y = 6x + 4xz – 4z²

           ∂ x

          ∂ y = -10z + 2x² – 8xz

          ∂ z

    2.untukk fungsi y = 3x² – 5z² + 2x²z – 4xz² – 9 tentukanlah diferensial parsialnya !

         Jawab :

          ∂ y dx = 6 + 4z

          ∂ x

         ∂ y dz = 4x – 8z

         ∂ x

         ∂ y dx = 4x – 8z

         ∂ z

         ∂ y dz = -10 – 8x

         ∂ z

• Diferensial total   

           Diferensial total

membentuk turunan parsial  dan  ,perubahan  dan  ditinjau berasingan.sekarang kita tinjau pengaruh perubahan x dan y bersama-sama. Dalam Persamaan linier dari  dan berbentuk  disebut diferensial total dari z dititik 9( x,y) dan dinyatakan oleh dz :

dz =

 jika z = f (x,y)mempunyai turunan parsial pertama yang kontinu di D ,maka z mempunyai diferensial total :

dz =  disetiap titik (x,y) dari D

Untuk fungsi dari variabel atau lebih ,misalnya w = f ( x, y ,u ,v ) maka :

dw =

 Contoh

1.      tentukan dw  jika w =  !

penyelesaian :

dw =  dx +  dy -  dz

2.      radius dan tinggi sebuah silinder  lingkaran yang tegak diukur sebagai 4 dan 10 cm ,dengan kemungkinan kesalahan pengukuran  .gunakan diferensial  total untuk menaksir kesalahn maksimum dalam volume yang diukur.

Penyelesaian :

Diketahui : v =

r= 4 cm

h=10 cm

dr=dh =  0,05 cm

ditanya : dv = ?

jawab :

dv =  dr +  dh           

dv = 2  +  dh

subsitusikan r = 4 ,h = 10 cm  dan dr =dh = sehingga menghasilkan  dv =2  (40) 

Untuk fungsi y = 3x² – 5z² + 2x²z – 4xz² – 9 tentukanlah diferensial totalnya !

Jawab :

dy = ∂ y dx + ∂ y dz

∂ x ∂ z

= (6 + 4z) + (-10 – 8x)

= -8x + 4z – 4

• Total Derivative

          Diferensial total dua variabel Misalkan z= f(x,y), dengan f suatu fungsi yang terdeferensial, dan andaikan dx dan dy disebut diferensial dari x dan y. diferensial dari peubah tak bebas dz disebut juga diferensial total dari f dan ditulis df(x,y), maka dapat didefenisikan sebagai berikut:

                              dz=df(x,y)=fx(x,y)dx+fy(x,y)dy

   

     Contoh:.Misalkan z = x2 y2+ x3 +y3x maka tentukanlah diferensial totalnya.

                    Jawab

                    = (2xy2+ 3x2+ y3) d x + (2x2 y +3y2 x)dy