TURUNAN FUNGSI                

Turunan merupakan tingkat perubahan sesaat sebuah fungsi terhadap salah satu variabelnya. Tingkat perubahan fungsi f(x) untuk setiap nilai x, yaitu turunan f(x), dapat dinyatakan dengan rumus:

 atau

Selain dengan notasi di atas, fungsi turunan juga dapat dinyatakan dengan y’ atau f’ (x) atau  atau 

Contoh:

Jika , tentukanlah turunan dari f(x).

Jawab:

Dengan menggunakan rumus turunan di atas, kita dapat:

Jadi, dari perhitungan di atas kita dapat bahwa 

Turunan Fungsi Aljabar

Berikut ini rumus turunan untuk bentuk fungsi aljabar. Rumus ini didapat dari penjabaran rumus turunan di atas.

Rumus Dasar:

1. Jika y = k, maka y’ = 0
2. Jika y = x, maka y’ = 1
3. Jika , maka 
4. Jika , maka 

Contoh:

Jika , tentukanlah nilai dari .

Jawab:

( dari rumus (3)) ( dibaca: turunan  terhadap x)

 ( dari rumus (4))

 ( dari rumus (4))

 ( dari rumus (4))

 ( dari rumus (4))

 ( dari rumus (1))

Dengan demikian, .

Rumus Operasi Turunan

Misalkan  dan , maka:

5. Jika , maka 
6. Jika , maka 
7. Jika , maka 
8. Jika , maka 
9. Jika , maka 

                                                             

                                                                 KAIDAH-KAIDAH TURUNAN

1. Turunan Fungsi Konstan

Fungsi konstan adalah fungsi dengan bentuk f(x) = n dengan n = bilangan real. Turunan fungsi konstan menggunakan limit fungsi adalah sebagai berikut.

Jadi, turunan fungsi yang berbentuk nilai konstan adalah 0.

Jika diketahui f(x) = n, dengan n bilangan real, maka f '(x) = 0

2. Turunan Fungsi Identitas

Fungsi identitas adalah fungsi dengan bentuk f(x) = x. Turunan fungsi identitas menggunakan limit fungsi adalah sebagai berikut.

Jadi, turunan fungsi identitas adalah 1.

Jika diketahui f(x) adalah sebuah fungsi identitas atau f(x) = x, maka f '(x) = 1

3. Turunan Fungsi Pangkat

Misalkan diketahui fungsi pangkat dengan bentuk f(x) = xn dengan n bilangan bulat positif. Untuk menentukan rumus umumnya, kita dapat mencari pola dari hasil yang diperoleh melalui tabel berikut.

Sekarang, kita tentukan dahulu turunan fungsi untuk n = 2.

Kita masukkan hasilnya ke dalam tabel berikut ini.

Coba kalian perhatikan tabel di atas. Dari tabel tersebut, dapat terlihat pola yang terbentuk sehingga diperoleh kesimpulan sebagai berikut.

Turunan untuk fungsi f(x) = xn adalah f '(x) = nxn-1 dan turunan untuk fungsi f(x) = mxn adalah 
f '(x) = mnxn-1

Agar kalian lebih memahami penggunaan aturan turunan fungsi di atas, mari kita perhatikan contoh berikut.

Contoh:

Tentukan f '(x) dari fungsi berikut.

a. f(x) = 6x

b. f(x) = $\sqrt{x}$

Penyelesaian:

a. f(x) = 6x → f '(x) = 6

b. f(x) = $\sqrt{x}$

f(x) =$x^{\frac{1}{2}}$ → $f^{\prime }(x)=\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}$ = $\frac{1}{2\sqrt{x}}$

4. Turunan Jumlah dan Selisih Fungsi-Fungsi

Jika diketahui fungsi y = f(x) = u(x) ± v(x) dengan turunan dari u(x) adalah u ‘(x) dan turunan dari v(x) adalah v ’(x), maka turunan dari f(x) adalah:

f '(x) = u '(x) ± v '(x)

Agar kalian lebih paham penggunaan aturan turunan fungsi aljabar di atas, mari perhatikan contoh berikut.

Contoh:

Carilah turunan fungsi g(x) = 2x2 + $\sqrt{x}$.

Penyelesaian:

Misalkan u (x) = 2x2 dan v(x) = $\sqrt{x}$, maka:

u ' (x) = 4x dan v '(x) = $\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}$

Dengan demikian, turunan fungsi g(x) adalah:

g '(x) = u ' (x) + v '(x) = 4x + $\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}$

5. Turunan Hasil Kali Fungsi-Fungsi

Jika diketahui fungsi y = f(x) = u(x).v(x) dengan turunan dari u(x) adalah u ‘(x) dan turunan dariv(x) adalah v ’(x), maka turunan dari f(x) adalah:

f '(x) = u ‘(x).v(x) + u(x).v ’(x)

Agar kalian lebih paham penggunaan aturan turunan fungsi aljabar di atas, mari perhatikan contoh berikut.

Contoh:

Tentukan turunan fungsi f(x) = 2x(x4 - 5).

Penyelesaian:

Misalkan u(x) = 2x dan v(x) = x4 - 5, maka:

u '(x) = 2 dan v '(x) = 4x3

Dengan demikian, diperoleh:

f '(x) = u ‘(x).v(x) + u(x).v ’(x) = 2(x4 - 5) + 2x(4x3 ) = 2x4 - 10 + 8x4 = 10x4 - 10

6. Turunan Hasil Bagi Fungsi-Fungsi

Jika diketahui fungsi y = f(x) = $\frac{u(x)}{v(x)}$ dengan turunan dari u(x) adalah u ‘(x) dan turunan dariv(x) adalah v ’(x), maka turunan dari f(x) adalah:

Agar kalian lebih paham penggunaan aturan turunan fungsi aljabar di atas, mari perhatikan contoh berikut.

Contoh:

Tentukan turunan fungsi $g(x)=\frac{3x^4}{2x-5}$.

Penyelesaian:

Misalkan u(x) = 3x4 dan v(x) = 2x - 5, maka:

u '(x) = 12x3 dan v '(x) = 2

Dengan demikian, diperoleh: