HIMPUNAN
A. Himpunan dan Notasinya 1. Pengertian Himpunan Himpunan adalah kumpulan benda/objek yang dapat didefinisikan dengan jelas.
Contoh:
1) Kumpulan bunga-bunga indah. Tidak dapat kita sebut himpunan karena bunga indah itu relatif (bunga indah menurut seseorang belum tentu indah menurut orang lain). Dengan kata lain, kumpulan bunga indah tidak dapat didefinisikan dengan jelas.
2) Rombongan mahasiswa universitas esa unggul yang berwisata ke pula dewata adalah himpunan. Mengapa? Sebabnya ialah mahasiswa/mahasiswi yang berwisata kepulau dewata dapat diketahui dengan jelas.
2. Menyatakan Suatu Himpunan Suatu himpunan dapat dinyatakan dengan :
1) Suatu kalimat
2) Notasi pembentuk himpunan
3) Mendaftar anggota-anggotanya Untuk memberi nama pada suatu himpunan pada umumnya digunakan lambang huruf kapital. Contoh: H adalah tokoh-tokoh yang pernah menjadi presiden RI sebelum pemilu 2009. nyatakan himpunan tersebut dengan ketiga cara di atas: Jawab: 1) Dengan suatu kalimat H = { tokoh-tokoh yang pernah menjadi presiden RI sebelum pemilu 2009} 2) Dengan notasi pembentuk himpunan: H = {x|x = tokoh-tokoh yang pernah menjadi presiden RI sebelum pemilu 2009} 3) Dengan mendaftar anggota-anggotanya H = {Soekarno, Soeharto, B.J. Habibie, Abdurrahaman Wahid, Megawati, Susilo Bambang Yudoyono}
B. Anggota Himpunan
Setiap benda/objek yang termasuk dalam suatu himpunan disebut anggota/unsur/elemen himpunan tersebut. Untuk menyatakan suatu objek merupakan anggota himpunan, ditulis dengan lambang “∈” sedangkan untuk menyatakan suatu objek bukan, anggota himpunan ditulis dengan lambang “∉” Misalkan H adalah himpunan huruf-huruf pada kata “MERDEKA” maka H adalah himpunan yang anggota-anggotanya terdiri atas huruf-huruf M, E, R, D, E, K dan A. Huruf M, E, R, D, E, K dan A termasuk anggota himpunan H. Banyaknya anggota himpunan H adalah 6 buah, yaitu M, E, R, D, E, K dan A ditulis n(H) = 6. Himpunan dengan banyak anggota berhingga disebut himpunan hingga, sedangkan himpunan dengan banyak anggota tidak berhingga disebut himpunan tidak berhingga. Misalnya, A adalah himpunan bilangan asli, maka anggota-anggota adalah 1, 2, 3, 4, 5, 6, dan seterusnya yang tidak pernah berakhir. Banyak anggota himpunan A adalah tidak berhingga, ditulis n(A) = tidak berhingga.
C. Himpunan Bagian
1. Pengertian Himpunan Bagian
Perhatikan himpunan-himpunan berikut:
A = {himpunan hewan}
B = {himpunan hewan berkaki empat}
C = {himpunan hewan berkaki empat yang bertelur}
Misalkan A, B dan C adalah sebagai berikut:
A = {kucing, anjing, buaya, kura-kura, burung}
B = {kucing, anjing, buaya, kura-kura}
C = {buaya, kura-kura}
Jika kita perhatikan, setiap anggota himpunan B merupakan anggota himpunan A, ditulis B ⊂ A dan setiap anggota himpunan C merupakan anggota himpunan B, ditulis C ⊂ B. Namun, kita tidak dapat menuliskan A ⊂ B karena ada anggota A yang bukan merupakan anggota B, yaitu burung. Oleh karena itu himpunan yang demikian ditulis A ⊄ B
2. Menentukan banyak himpunan bagian
Perhatikan himpunan-himpunan berikut!
A = {a}, banyaknya himpunan bagian ada 2 yaitu {a} dan ∅
A = {a, b}, banyaknya himpunan bagian ada 4 yaitu {a} {b} {a, b} dan ∅
A = {a, b, c }, banyaknya himpunan bagian ada 8 yaitu {a} {b} {c} {a, b} {a, c} {b,c} {a,b,c} dan ∅
Contoh:
Tentukan banyaknya himpunan bagian dari A jika A = {1,2,3}
Jawab:
n(A) = 3
jadi, N = 2³ = 8
Himpunan bagian dari A adalah sebagai berikut:
{1} {2} {3} {1,2} {1,3} {2,3} {1,2,3} ∅
D. Himpunan Kosong dan Himpunan Semesta
1. Himpunan Kosong
Himpunan kosong adalah suatu himpunan yang tidak mempunyai anggota dan dinotasikan dengan ∅ atau {}
Contoh:
Jika H adalah himpunan nama-nama hari yang dimulai dengan huruf B, nyatakan dalam notasi himpunan L
Jawab :
H =∅ atau H = {} karena tidak ada nama hari yang dimulai dengan huruf B.
2. Himpunan Semesta
Himpunan semesta atau semesta pembicaraan adalah himpunan yang memuat semua objek yang sedang dibicarakan. Hal ini berarti semesta pembicaraan mempunyai anggota yang sama atau lebih banyak dari pada himpunan yang sedang dibicarakan. Himpunan semesta disebut juga himpunan universal dan disimbolkan S atau U.
Contoh :
R = {3,5,7}
Himpunan semesta yang mungkin untuk himpunan R diantaranya adalah
a. S = R = {3,5,7}
b. S = {bilangan ganjil}
c. S = {bilangan cacah}
d. S = {bilangan prima}
E. Diagram Venn
Himpunan dapat dinyatakan dalam bentuk gambar yang dikenal sebagai diagram Venn. Diagram Venn diperkenalkan oleh pakar Matematika, Inggris pada tahun 1834-1923 bernama John Venn dalam membuat diagram Venn yang perlu diperhatikan yaitu:
1. Himpunan semesta (S) digambarkan sebagai persegi panjang dan huruf S diletakkan di sudut kiri atas persegi panjang
2. Setiap himpunan yang dibicarakan (selain himpunan kosong) ditunjukkan oleh kurva tersebut.
3. Setiap anggota ditunjukkan dengan noktah (titik)
4. Bila anggota suatu himpunan banyak sekali, maka anggota-anggotanya tidak perlu dituliskan.
F. Irisan dan Gabungan Dua Himpunan
1. Irisan Dua Himpunan
· Pengertian irisan dua himpunan
Jika P = {1,2,3,4} dan Q = {3,4,5} maka 3 dan 4 adalah anggota sekutu dari P dan Q. sedangkan 1 dan 2 menjadi anggota P tetapi bukan anggota Q dan 5 menjadi anggota Q tetapi bukan anggota P. Himpunan yang memuat semua anggota sekutu dari P dan Q disebut irisan dari P dan Q; ditulis P ∩ Q = {3,4}
Irisan P dan Q adalah himpunan yang anggotanya merupakan anggota P sekaligus anggota Q.
Ditulis dengan notasi pembentuk himpunan sebagai berikut:
P ∩ Q = {x | x ∈ P dan x∈ Q}
Contoh:
A = {bilangan asli yang kurang dari 6}
B = {2,4,6}
Tentukan A∩B
Jawab :
a. A = {1,2,3,4,5}
B = {2,4,6} maka A∩B = {2,4}
2. Gabungan [∪] dua himpunan
Gabungan dari dua buah himpunan akan menghasilkan suatu himpunan baru yang anggotanya terdiri dari anggota kedua himpunan tersebut. Operasi gabungan pada himpunan disimbolkan dengan “∪”.
Misalkan P = {2,3,4,5} dan Q = {1,2,4,6} maka P∪Q = {1,2,3,4,5,6}
Gabungan dari P dan Q adalah himpunan yang semua anggotanya terdapat pada P atau Q. ditulis dengan notasi pembentuk himpunan: P ∪ Q = {x| x ∈ P atau x ∈ Q}
3. Komplemen
Misalkan:
S = {1,2,3,4,5,6,7}
Q = {2,3,4,}
Himpunan S yang anggotanya selain anggota himpunan Q adalah {1,5,6,7}. Himpunan bagian dari S ini disebut komplemen Q dan ditulis Q¹ atau (Q©).
A. Himpunan dan Notasinya 1. Pengertian Himpunan Himpunan adalah kumpulan benda/objek yang dapat didefinisikan dengan jelas.
Contoh:
1) Kumpulan bunga-bunga indah. Tidak dapat kita sebut himpunan karena bunga indah itu relatif (bunga indah menurut seseorang belum tentu indah menurut orang lain). Dengan kata lain, kumpulan bunga indah tidak dapat didefinisikan dengan jelas.
2) Rombongan mahasiswa universitas esa unggul yang berwisata ke pula dewata adalah himpunan. Mengapa? Sebabnya ialah mahasiswa/mahasiswi yang berwisata kepulau dewata dapat diketahui dengan jelas.
2. Menyatakan Suatu Himpunan Suatu himpunan dapat dinyatakan dengan :
1) Suatu kalimat
2) Notasi pembentuk himpunan
3) Mendaftar anggota-anggotanya Untuk memberi nama pada suatu himpunan pada umumnya digunakan lambang huruf kapital. Contoh: H adalah tokoh-tokoh yang pernah menjadi presiden RI sebelum pemilu 2009. nyatakan himpunan tersebut dengan ketiga cara di atas: Jawab: 1) Dengan suatu kalimat H = { tokoh-tokoh yang pernah menjadi presiden RI sebelum pemilu 2009} 2) Dengan notasi pembentuk himpunan: H = {x|x = tokoh-tokoh yang pernah menjadi presiden RI sebelum pemilu 2009} 3) Dengan mendaftar anggota-anggotanya H = {Soekarno, Soeharto, B.J. Habibie, Abdurrahaman Wahid, Megawati, Susilo Bambang Yudoyono}
B. Anggota Himpunan
Setiap benda/objek yang termasuk dalam suatu himpunan disebut anggota/unsur/elemen himpunan tersebut. Untuk menyatakan suatu objek merupakan anggota himpunan, ditulis dengan lambang “∈” sedangkan untuk menyatakan suatu objek bukan, anggota himpunan ditulis dengan lambang “∉” Misalkan H adalah himpunan huruf-huruf pada kata “MERDEKA” maka H adalah himpunan yang anggota-anggotanya terdiri atas huruf-huruf M, E, R, D, E, K dan A. Huruf M, E, R, D, E, K dan A termasuk anggota himpunan H. Banyaknya anggota himpunan H adalah 6 buah, yaitu M, E, R, D, E, K dan A ditulis n(H) = 6. Himpunan dengan banyak anggota berhingga disebut himpunan hingga, sedangkan himpunan dengan banyak anggota tidak berhingga disebut himpunan tidak berhingga. Misalnya, A adalah himpunan bilangan asli, maka anggota-anggota adalah 1, 2, 3, 4, 5, 6, dan seterusnya yang tidak pernah berakhir. Banyak anggota himpunan A adalah tidak berhingga, ditulis n(A) = tidak berhingga.
C. Himpunan Bagian
1. Pengertian Himpunan Bagian
Perhatikan himpunan-himpunan berikut:
A = {himpunan hewan}
B = {himpunan hewan berkaki empat}
C = {himpunan hewan berkaki empat yang bertelur}
Misalkan A, B dan C adalah sebagai berikut:
A = {kucing, anjing, buaya, kura-kura, burung}
B = {kucing, anjing, buaya, kura-kura}
C = {buaya, kura-kura}
Jika kita perhatikan, setiap anggota himpunan B merupakan anggota himpunan A, ditulis B ⊂ A dan setiap anggota himpunan C merupakan anggota himpunan B, ditulis C ⊂ B. Namun, kita tidak dapat menuliskan A ⊂ B karena ada anggota A yang bukan merupakan anggota B, yaitu burung. Oleh karena itu himpunan yang demikian ditulis A ⊄ B
2. Menentukan banyak himpunan bagian
Perhatikan himpunan-himpunan berikut!
A = {a}, banyaknya himpunan bagian ada 2 yaitu {a} dan ∅
A = {a, b}, banyaknya himpunan bagian ada 4 yaitu {a} {b} {a, b} dan ∅
A = {a, b, c }, banyaknya himpunan bagian ada 8 yaitu {a} {b} {c} {a, b} {a, c} {b,c} {a,b,c} dan ∅
Contoh:
Tentukan banyaknya himpunan bagian dari A jika A = {1,2,3}
Jawab:
n(A) = 3
jadi, N = 2³ = 8
Himpunan bagian dari A adalah sebagai berikut:
{1} {2} {3} {1,2} {1,3} {2,3} {1,2,3} ∅
D. Himpunan Kosong dan Himpunan Semesta
1. Himpunan Kosong
Himpunan kosong adalah suatu himpunan yang tidak mempunyai anggota dan dinotasikan dengan ∅ atau {}
Contoh:
Jika H adalah himpunan nama-nama hari yang dimulai dengan huruf B, nyatakan dalam notasi himpunan L
Jawab :
H =∅ atau H = {} karena tidak ada nama hari yang dimulai dengan huruf B.
2. Himpunan Semesta
Himpunan semesta atau semesta pembicaraan adalah himpunan yang memuat semua objek yang sedang dibicarakan. Hal ini berarti semesta pembicaraan mempunyai anggota yang sama atau lebih banyak dari pada himpunan yang sedang dibicarakan. Himpunan semesta disebut juga himpunan universal dan disimbolkan S atau U.
Contoh :
R = {3,5,7}
Himpunan semesta yang mungkin untuk himpunan R diantaranya adalah
a. S = R = {3,5,7}
b. S = {bilangan ganjil}
c. S = {bilangan cacah}
d. S = {bilangan prima}
E. Diagram Venn
Himpunan dapat dinyatakan dalam bentuk gambar yang dikenal sebagai diagram Venn. Diagram Venn diperkenalkan oleh pakar Matematika, Inggris pada tahun 1834-1923 bernama John Venn dalam membuat diagram Venn yang perlu diperhatikan yaitu:
1. Himpunan semesta (S) digambarkan sebagai persegi panjang dan huruf S diletakkan di sudut kiri atas persegi panjang
2. Setiap himpunan yang dibicarakan (selain himpunan kosong) ditunjukkan oleh kurva tersebut.
3. Setiap anggota ditunjukkan dengan noktah (titik)
4. Bila anggota suatu himpunan banyak sekali, maka anggota-anggotanya tidak perlu dituliskan.
F. Irisan dan Gabungan Dua Himpunan
1. Irisan Dua Himpunan
· Pengertian irisan dua himpunan
Jika P = {1,2,3,4} dan Q = {3,4,5} maka 3 dan 4 adalah anggota sekutu dari P dan Q. sedangkan 1 dan 2 menjadi anggota P tetapi bukan anggota Q dan 5 menjadi anggota Q tetapi bukan anggota P. Himpunan yang memuat semua anggota sekutu dari P dan Q disebut irisan dari P dan Q; ditulis P ∩ Q = {3,4}
Irisan P dan Q adalah himpunan yang anggotanya merupakan anggota P sekaligus anggota Q.
Ditulis dengan notasi pembentuk himpunan sebagai berikut:
P ∩ Q = {x | x ∈ P dan x∈ Q}
Contoh:
A = {bilangan asli yang kurang dari 6}
B = {2,4,6}
Tentukan A∩B
Jawab :
a. A = {1,2,3,4,5}
B = {2,4,6} maka A∩B = {2,4}
2. Gabungan [∪] dua himpunan
Gabungan dari dua buah himpunan akan menghasilkan suatu himpunan baru yang anggotanya terdiri dari anggota kedua himpunan tersebut. Operasi gabungan pada himpunan disimbolkan dengan “∪”.
Misalkan P = {2,3,4,5} dan Q = {1,2,4,6} maka P∪Q = {1,2,3,4,5,6}
Gabungan dari P dan Q adalah himpunan yang semua anggotanya terdapat pada P atau Q. ditulis dengan notasi pembentuk himpunan: P ∪ Q = {x| x ∈ P atau x ∈ Q}
3. Komplemen
Misalkan:
S = {1,2,3,4,5,6,7}
Q = {2,3,4,}
Himpunan S yang anggotanya selain anggota himpunan Q adalah {1,5,6,7}. Himpunan bagian dari S ini disebut komplemen Q dan ditulis Q¹ atau (Q©).
Comments
Post a Comment