A.   Relasi

         Relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu aturan yang memasangkan anggota-anggota himpunan A dengan

anggota-anggota himpunan B.

Contoh :

Empat orang anak yaitu Ria, Rian, Reni, dan Revi memilih jenis musik yang mereka sukai. Ternyata:

Ria dan Rian memilih musik pop.

Rian dan Reni memilih musik rock.

Rian, Reni, dan Revi memilih musik jazz.

         Jika A = {Ria, Rian, Reni, Revi} dan B = {pop, rock, jazz}, maka dapat dibentuk relasi (hubungan) antara anggota-anggota himpunan A dengan anggota-anggota himpunan B. Relasi yang tepat dari himpunan A ke himpunan B adalah relasi “menyukai”.

         Ria dipasangkan dengan pop, berarti Ria menyukai musik pop, Rian dipasangkan dengan pop, rock, dan jazz, berarti Rian menyukai tiga jenis musik, yaitu musik pop, rock, dan jazz, Reni dipasangkan dengan rock dan jazz, berarti Reni menyukai dua jenis musik, yaitu musik rock dan jazz, sedangkan Revi dipasangkan dengan jazz, berarti Revi menyukai musik pjazz. Relasi terebut dapat ditunjukkan dengan jelas pada gambar dibawah ini.

1.      Menyatakan Relasi

Relasi antara dua himpunan dapat dinyatakan dengan diagram panah, diagram cartesius dan himpunan pasangan berurutan.

Contoh :

Empat orang anak yaitu Tias, Jamal, Farid, dan Dika memilih permainan yang mereka gemari. Ternyata:

Tias, Jamal, dan Farid memilih permainan voli.

Jamal dan Farid memilih permainan basket.

Farid dan Dika memilih permainan tenis.

Jika himpunan A = {Tias, Jamal, Farid, Dika} dan himpunan B = {voli, basket, tenis}. Terdapat relasi gemar bermain dari himpunan A ke himpunan B.

a.  Nyatakan dengan diagram panah,

b.  Nyatakan dengan diagram cartesius

c.  Nyatakan dengan himpunan pasangan berurutan.

Jawab :

a.      Diagram Panah

b.     Diagram Cartesius

           

c.      Himpunan Pasangan Berurutan.

{(Tias, Voli), (Jamal, Voli), (Jamal, Basket), (Farid, Voli), (Farid, Basket), (Farid, Tenis), (Dika, Tenis)}

B.   Fungsi

Fungsi  dari himpunan A ke himpunan B adalah relasi yang memasangkan setiap anggota himpunan A(daerah asal atau domain),  dengan tepat satu anggota himpunan B(daerah kawan atau kodomain). Himpuan nilai yang diperoleh disebut daerah hasil (range).

Contoh :

Hardi adalah anak Pak Manan, Nanda anak Pak Udin,  Indri dan Aldi anak Pak Drajat. Jika himpunan A = {Hardi, Nanda, Indri, Aldi} dan himpunan B = {Manan, Udin, Drajat}. Terdapat relasi anak dari himpunan A ke himpunan B, fungsi tersebut dapat digambarkan sebagai berikut.

1. Menyatakan Fungsi

   Menyatakan fungsi dalam diagram panah, diagram cartesius, dan pasangan berurutan

   Contoh :

Misalkan A = {1, 2, 3} dan B = {-3, -2, -1, 0, 1, 2}.  Jika fungsi f : A → B ditentukan dengan f(x) = 6 – 3x. Nyatakan dalam diagram panah,   diagram cartesius, dan pasangan berurutan

Penyelesaian :

f(1) = 6 – 3 (1) = 6 – 3= 3

f(2) = 6 – 3(2) = 6 – 6 = 0

f(3) = 6 – 3(3) = 6 – 9 = -3

Diagram Panah

Diagram Cartesius

Himpunan Pasangan Berurutan

{(1, 3), (2, 0), (3, -3)}

Contoh soal

1. Pada pemetaan    bayangan dari 2 adalah …

a.  3                                    b.  8                                   c.  9                                  d.  27

Pembahasan :

f(x) = 4x - 5

f(2) = 4(2) - 5

f(2) = 8 - 5 = 3

2. Pada pemetaan     maka h(5)  adalah …

a.  33                                 b. 29                                  c. 21                               d. 17

Pembahasan :

h(x) = x^2 + 4

h(5) = 5^2 + 4

h(5) = 25 + 4 = 2

3. Pada pemetaan  f : 5 – x,  jika daerah asalnya {-3, -2, -1, 0. 1, 2, 3, 4}, maka daerah hasilnya adalah …

a.  {–1, –2, –3,  –4, –5, –6, –7, –8}                                     c.  {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

b.  {–2, –3,  –4, –5, –6, –7, –8, –9}                                    d.  {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

Pembahasan :

f(-3) = 5 - (-3) = 8                    f(1) = 5 - 1 = 4

f(-2) = 5 - (-2) = 7                    f(2) = 5 - 2 = 3

f(-1) = 5 - (-1) = 6                    f(3) = 5 - 3 = 2

f(0)   = 5 - 0       = 5                     f(4) = 5 - 4 = 1

Daerah Hasilnya = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

4. Pada pemetaan  jika daerah asalnya {x | x < 5, x Î bilangan asli }, maka daerah hasilnya adalah …

a. {–4, –8, –12, –16, –20}                                                  c. {4, 8, 12, 16, 20}

b. {–8, –12, –16, –20, – 22}                                              d. {8, 12, 16, 20, 22}

Pembahasan :

x = {1, 2, 3, 4, 5}

f(1) = 4(1) = 4             f(4) = 4(4) = 16

f(2) = 4(2) = 8             f(5) = 4(5) = 20

f(3) = 4(3) = 12          

daerah hasilnya = {4, 8, 12, 16, 20}

5. Pada pemetaan    jika daerah asalnya x Î {2, 3, 4, 5 },  rangenya adalah …

a. {4, 11, 14, 15}                                                              c.  {6, 11, 14, 17}

b.  {6, 11, 14, 15}                                                            d.  {8, 11, 14, 17}

Pembahasan :

f(2) = 3(2) + 2 = 8                f(4) = 3(4) + 2 = 14

f(3) = 3(3) + 2 = 11             f(5) = 3(5) + 2 = 17

Daerah hasilnya = {8, 11, 14, 17}